25.10.2015
Дзета-функция Эйлера
1. Базельская задача
Эта история началась в 1644 году, когда итальянский математик Пьетро Менголи предложил вычислить сумму обратных квадратов.
Позднее эта задача получила название как Базельская задача, в честь швейцарского города Базеля,
в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли - Якоб и Иоганн.
Они нашли доказательство расходимости. т.н. гармонического ряда. Якоб опубликовал это доказательство в своей книге,
в которой публично сформулировал еще раз задачу Менголи.
Гармонический ряд выглядит так:
Базельский ряд, иллюстрирующий базельскую задачу, слегка отличается от гармонического.
В отличие от последнего, базельский ряд сходится:
В следующем коде вычисляется сумма базельского ряда. После миллиона итераций точность вычислений равна пяти знакам после запятой:
Код
import math
from decimal import *
getcontext().prec = 100
s=0
for i in range(1,1000000):
s += 1/Decimal(i)**2
print s
>> 1.64493306684772643630574849997...
Для гармонического ряда аналогичная итерация дает сумму 14.3927257228, отчего гармонический ряд еще называют медленно расходящимся рядом.
Эйлер вычислил несколько первых знаков, после чего, обладая сверхъестественными способностями к вычислениям,
увидел, что сумма базельского ряда равна
π2/6
После чего он строго доказал, что так оно и есть. Сделал он это еще в 1735 году, в Петербурге.
Ход его рассуждений можно проиллюстрировать следующим образом:
возьмем за основу известный ряд Тейлора:
Из школьного курса мы знаем, что при x=0, ± π, ± 2π, ± 3π ... синус равен нулю.
Если рассмотреть в качестве примера алгебраическое уравнение 4-й степение:
Пусть его корни равны b, c, d и e. Тогда его можно разложить на линейные множители:
Ряд Тейлора, являясь многочленом, по основной теореме алгебры, можно аналогично представить в виде произведения одночленов:
Правая часть этого равенства преобразовывается к виду:
Если каждое выражение в скобках приравнять к нулю:
x2 - π2 = 0
Далее:
x2 = π2
Далее:
x2 / π2 = 1
Далее:
1 - x2 / π2 = 0
После чего правая часть становится равной:
При этом
Делим обе части равенства на x и получаем
Поскольку
имеем:
K'=1
Получаем ряд:
После перемножения и расрытия скобок в правой части:
Делим обе части на -x2/π2 и получаем:
что и требовалось доказать. Для 4-й степени:
Для 6-й степени:
ζ(8) = π8 / 9450
ζ(10) = 691*π10 / 638512875
ζ(12) = 2*π12 / 18243225
ζ(14) = 3617*π14 / 325641566250
...
Для положительных целых четных значений, кратных двум, Эйлер нашел упрощенную формулу с использованием чисел Бернулли:
или так
В 1755 году Эйлер опубликовал Наставления к дифференциальному исчислению,
в которых подвел итог доказательству Базельской задачи.
На данный момент существует много ее различных доказательств, например, есть варианты, в которых используется
только интегральное исчисление.
Ряд, состоящий из величин, обратных простым числам, расходится, причем еще медленнее, чем гармонический, примерно к ln(ln(p)) :
Сумма же гармонического ряда оценивается как ln(n+1) < S < 1 + ln(n).
2. Дзета-функция Эйлера
Вычислив сумму обратных квадратов, Эйлер вычислил суммы аналогичных рядов для целых степеней > 2.
Так появилась знаменитая дзета-функция Эйлера:
Он смог вычислить ее для любого четного значения S. Для нечетных функций простых формул до сих пор не найдено.
Таблица для первых 5 целых значений дзета-функции, с точностью до 12 знаков после запятой:
2 = 1.644934066848
3 = 1.202056903159
4 = 1.082323233711
5 = 1.036927755143
6 = 1.017343061984
Дзета-функция определена не только для целых, но и рациональных чисел.
Например, для s=1.1 она равна 10.58448, для s=1.0001 она равна 10000.577222.
В положительной области определения дзета-функция выглядит так:
Вообще, глядя на уравнение дзета-функции, можно сделать вывод, что она существует только для S > 1.
Попробуйте подставить S < 1, и вы увидите, что ряд расходится.
В данном случае бесконечный ряд определяет дзета-функцию только в части ее определения, где S > 1.
На самом деле дзета-функция существует для любого значения, кроме 1, причем не только целого.
В области слева от 1 дзета-функция выглядит так:
В начале отрицательной области определения дзета-функция выглядит так:
Для вычисления дзета-функции в области 1 < S < 0 используется разновидность дзета-функции,
которая называется эта-функция (от седьмой буквы греческого алфавита):
Формула:
Между дзета-функцией и эта-функцией существует связь:
Например, чтобы вычислить дзета-функцию для 0.5, сначала с помощью ряда вычисляем эта-функцию для 0.5.
Зная значения эта-функции, можно с помощью последней формулы вычислить аналогичные значения для дзета-функции.
Так, например η(1/2)=0.604.... Отсюда ζ(1/2)= -1.460.
Еще более странным выглядит алгоритм для вычисления дзета-функции для отрицательных значений.
Эйлер в 1749 году предложил выразить ζ(1-x) через ζ(x).
Т.е. например чтобы вычислить дзета-функцию ζ(-15), надо вычислить ζ(16) и подставить его в формулу, которая выглядит так:
Эта формула работает для целых S. Дзета-функция равна нулю всегда, когда S - отрицательное четное число. Эти нули еще называют тривиальными нулями дзета-функции.
Дзета-функция является фундаментальной функцией современной математики.
Она может проявляться в самых неожиданных местах.
Так, для S=3 она равна 1.2020569. Это число называется постоянной Апери.
Постоянная Эйлера
очень важна, т.к. она используется самым неожиданным образом во множестве дисциплин: в статистике. квантовой механике,
анализе и теории чисел. Существует связь между этой константой и дзета-функцией:
Существует связь между дзета-функцией и функцией Мебиуса. Областью определения функции Мебиуса являются натуральные числа 1,2,3...
Вычисляется функция Мебиуса по следующему алгоритму:
μ(1)=1.
μ(n)=0, если среди делителей числа n есть квадрат.
μ(n)=-1, если число n - простое или является произведением нечетного числа различных простых чисе.
μ(n)= 1 , если число n является произведением четного числа различных простых чисел:
Существует связь между дзета-функцией и числом делителей натуральных чисел:
Существует связь между дзета-функцией и числом простых делителей натуральных чисел:
Существует связь между дзета-функцией и вероятностью выбора взаимно-простых чисел.
Пусть имеется отрезок из натуральных чисел [1;N]. Из него случайно выбираем k целых чисел.
Вероятность того, что эти числа взаимно просты в совокупности:
В частности, два случайно выбранных числа взаимно просты с вероятностью 6/π2
3. Тождество Эйлера
Еще более загадочная связь существует между дзета-функцией и простыми числами. Эта связь также была установлена Эйлером.
Он нашел ее, применив к дзета-функции классический алгоритм просеивания - решето Эратосфена. Доказательство может быть
проиллюстрировано следующим образом:
Исходно дзета-функция имеет вид:
Умножим обе части равенства на 1/2S, получим:
Вычитая второе из первого, удаляем все элементы с делителем 2:
Умножим обе части равенства на 1/3S, получим:
Вычитая последнее из предпоследнего, удаляем все элементы с делителем 3:
Применяя в дальнейшем метод просеивания, умножая последовательно на величину, обратную очередному простому числу - 5, 7, 11, 13 и т.д., в конце концов получим:
Разделив последнюю формулу на все множители, получим знаменитое тождество Эйлера, в левой части которого стоит сумма величин,
обратных степеням всех натуральных чисел, а в правой части стоит произведение величин, обратных степеням всех простых чисел:
которое можно записать так:
или так:
Впервые тождество упоминается Эйлером в мемуаре Various observations about infinite series, изданном в Петербурге в 1737 году,
и выглядело оно вот так:
4. О свойствах степенных рядов
У Эйлера есть работа (E352 по каталогу) о свойствах степенных рядов,
которая по латински звучит как Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques.
Ее английский перевод - Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series.
К моменту написания этой работы Эйлер уже определил свою знаменитую формулу для дзета-функции в виде обратного степенного ряда.
Он также нашел явные формулу для четных натуральных степеней S.
Но дзета-функция на тот момент была определена лишь для S > 1.
В этой работе он расширяет область определения дзета-функцию на всю числовую область и выводит функциональное выражение, используя эта-функцию.
Зная значение эта-функции, мы можем вычислить дзета-функцию в любой области значения, в том числе для S < 1.
Т.о., Эйлер вычислил дзета-функцию на всей числовой прямой еще за 100 лет до Римана.
Эйлер начинает эту работу с рассмотрения двух рядов:
Зная сумму одного из этих рядов, можно вычислить сумму другого ряда,
точнее, если мы знаем сумму первого ряда для m, то сможем вычислить сумму второго ряда для : n = m+1.
Сумма первого ряда для m=1 равна 1/4 .
В современных терминах это называется сумма Абеля, она определена для x, который по модулю меньше 1.
Эта сумма получена исходя из того, что ряд
эквивалентен
Последнее выражение при x=1 равно 1/4.
Для других степеней аналогично:
Если подставить в правой части x=1, получим, что для второй степени сумма равна нулю, третьей - минус 2/16, четвертой - опять ноль,
пятой - плюс 16/64, шестой - опять ноль и т.д.
В общем случае формула для вычисления n--й степени:
Каким образом Эйлер получил эти зависимости ? В качестве исходного ряда возьмем следующий:
Сначала умножим его на x, потом продифференцируем, и получим равенство для первой степени.
Потом возьмем это равенство, умножим на x, опять продифференцируем, и получим равенство для второй степени, и т.д.
Далее Эйлер приводит формулы для расчета дзета-функции для четных положительных S.
В общем виде формула выглядит так:
Здесь B - число Бернулли.
Следующий код вычисляет первые несколько значений дзета-функцию по этой формуле с использованием чисел Бернулли:
Код
from fractions import Fraction as Fr
from decimal import *
import math
def bernoulli(n):
A = [0] * (n+1)
for m in range(n+1):
A[m] = Fr(1, m+1)
for j in range(m, 0, -1):
A[j-1] = j*(A[j-1] - A[j])
return A[0] # (which is Bn)
bn = [(i, bernoulli(i)) for i in range(50)]
bn = [(i, b) for i,b in bn if b]
width = max(len(str(b.numerator)) for i,b in bn)
_p = Decimal(3.1415926535897932384626433832795)
for i,b in bn:
if i/2 > 0:
p=i/2
_bernulli = (b.numerator/Decimal(b.denominator))
n = (_p**(2*p))*(((-1)**(p+1))*(2**(2*p-1))*_bernulli) / math.factorial(2*p)
print('%i B(%2i) = %*i/%i n=%s' % (i/2, i, width, b.numerator, b.denominator, n))
>> 1 B( 2) = 1/6 ζ(2)=1.644934066848226308227702252
>> 2 B( 4) = -1/30 ζ(4)=1.082323233711138022752725963
>> 3 B( 6) = 1/42 ζ(6)=1.017343061984448901767833836
>> 4 B( 8) = -1/30 ζ(8)=1.004077356197944026253399830
>> 5 B(10) = 5/66 ζ(10)=1.000994575127817695132260232
>> 6 B(12) = -691/2730 ζ(12)=1.000246086553307580402903575
>> 7 B(14) = 7/6 ζ(14)=1.000061248135058159051776187
>> 8 B(16) = -3617/510 ζ(16)=1.000015282259408028154707709
>> 9 B(18) = 43867/798 ζ(18)=1.000003817293264298166248124
>> 10 B(20) = -174611/330 ζ(20)=1.000000953962033093161002906
...
Эта-функция для четных положительных чисел вычисляется аналогично:
Аналогичный код для эта-функции:
Код
for i,b in bn:
if i/2 > 0:
p=i/2
_bernulli = (b.numerator/Decimal(b.denominator))
n = (_p**(2*p))*(((-1)**(p+1))*(2**(2*p-1)-1)*_bernulli) / math.factorial(2*p)
print('%i B(%2i) = %*i/%i n=%s' % (i/2, i, width, b.numerator, b.denominator, n))
>> 1 B( 2) = 1/6 η(2)=0.822467033424113154113851126
>> 2 B( 4) = -1/30 η(4)=0.9470328294972457699086352175
>> 3 B( 6) = 1/42 η(6)=0.9855510912974348735875890282
>> 4 B( 8) = -1/30 η(8)=0.9962330018526475885482951441
>> 5 B(10) = 5/66 η(10)=0.9990395075982711761964550361
>> 6 B(12) = -691/2730 η(12)=0.9997576851438577231859099698
>> 7 B(14) = 7/6 η(14)=0.9999391703459791724600950619
>> 8 B(16) = -3617/510 η(16)=0.9999847642149054827436922455
>> 9 B(18) = 43867/798 η(18)=0.9999961878696094118114342339
>> 10 B(20) = -174611/330 η(20)=0.9999990466115807424814276333
|
| Геннадий | Всё компактно. Очень неплохой материал. Правда.
2017-04-02 10:55:41 | | Игорь | Действительно, очень доступно и много интересного. Спасибо
2017-07-17 22:03:50 | | Сергей | Есть серьезная опечатка - при обсуждении тождества Эйлера все члены ряда с делителем 3
(в знаменателе) так и остались неудаленными после вычитания.
2018-05-21 12:03:40 | | Яковлев Сергей | Поправил.
Спасибо.
2018-05-21 20:58:13 | | Роман | Прекрасно написано. Получил удовольствие. Рассказываю студентам.
2019-01-06 08:28:38 | | Анатолий | электронный инновационный вестник 5 2020 г.
2020-12-15 13:28:05 | | |
|
|