Проект Эйлера — это набор задач по математике и программированию.
Проект был основан в октябре 2001.
Целевая аудитория проекта включает в себя студентов, которым мало университетского курса, не-математиков, которым, тем не менее, интересна математика, а также профессионалов, которым хотят быть в хорошей математической форме.
Задачи эти разной степени сложности.
Каждая задача подчиняется "правилу одной минуты", которое гласит: несмотря на то, что на построение алгоритма решения могут уйти часы, эффективная реализация позволяет получить ответ на компьютере средней вычислительной мощности меньше, чем за одну минуту.
Здесь будут приведены реализации на трех языках - питоне, гоу и си.
Питон - интерпретируемый язык, остальные - компиляторы.
Я не буду сравнивать производительность реализаций в разрезе языков, потому что
нет смысла сравнивать производительность интерпретатора и компилятора.
Скорость работы программ зависит также и от других факторов, в частности от алгоритмов, заложенных
в конкретную реализацию. Главное условие - любая программа должна уложиться в минуту.
Начнем с задачи №5.
2520 - самое маленькое число, которое делится без остатка на все числа от 1 до 10.
Какое самое маленькое число делится нацело на все числа от 1 до 20?
В данной задаче можно использовать алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары.
Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) по сути есть завуалированный вызов алгоритма Евклида.
Формируется цикл от 1 до 20, в котором вызывается функция lcm - наименьшего общего кратного.
Стек вызовов такой:
Первое число в каждой строке является наименьшим общим кратным для всех чисел от единицы до текущего значения счетчика.
Видно, что каждое такое число либо равно предыдущему, либо есть его произведению на другое целое число.
Python:
def gcd(x, y):
return x if y == 0 else gcd(y, x % y)
def lcm(x, y):
return (x * y) // gcd(x, y)
g = 1
for i in range(1, n + 1):
g = lcm(g, i)
print g, i
Go :
package main
import "fmt"
func main() {
p, t, lcd := 1, [2]int{}, 1
for c:= 2; c <= 20; c++ {
t[0], t[1], lcd = p, c, 1
L: for {
if t[0] > t[1] {
t[0] = t[0] % t[1]
} else { t[1] = t[1] % t[0] }
if t[0] == 1 || t[1] == 1 { break L }
if t[0] * t[1] == 0 {
if t[0] == 0 {
lcd = t[1]
} else { lcd = t[0] }
break L
}
}
p *= c / lcd
}
fmt.Println(p)
}
C:
#include <stdio.h>
unsigned long gcd(unsigned long a, unsigned long b) {
unsigned long r;
if (a > b) {
unsigned long t = a;
a = b;
b = t;
}
while (r = a % b) {
a = b;
b = r;
}
return b;
}
unsigned long lcm(unsigned long a, unsigned long b) {
unsigned long long p = (unsigned long long)a * b;
return p / gcd(a, b);
}
int main(void) {
unsigned long ans = 1;
unsigned long i;
for (i = 1; i <= 20; i++) {
ans = lcm(ans, i);
}
printf("%lu\n", ans);
return 0;
}
Задача №9
Тройка Пифагора - три натуральных числа a < b < c, для которых выполняется равенство
a2 + b2 = c2
Например, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Существует только одна тройка Пифагора, для которой a + b + c = 1000.
Найдите произведение abc.
Решение в лоб: вложенный цикл для a и b, внутри цикла складываем квадраты и проверяем условие равенства:
Python:
for a in range(1, 501):
for b in range(a, 501):
c = 1000 - a - b
if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2:
print(a,b,c, a * b * c)
Go:
package main
import "fmt"
const N = 50
func main() {
k, m, n := 1, N, N
a, b, c, p := 0, 0, 0, 0
L: for ; m > 1; m-- {
n = m - 1
for ; n > 1; n-- {
k = 1
for ; k < 30; k++ {
if 2 * k * m * (m + n) == 1000 {
a, b, c = k * (m * m - n * n), 2 * k * m * n, k * (m * m + n * n)
if a * b * c > 0 {
p = a * b * c
break L
}
}
}
}
}
fmt.Println(p)
}
C:
#include < stdio.h>
int main(void)
{
int a, b;
for (a = 1; a <= 333; a++) {
for (b = a; b <= 666; b++) {
int c = (1000 - a - b);
if (a*a + b*b == c*c) {
printf("%d\n", a * b * c);
}
}
}
return 0;
}
Задача №12
Последовательность треугольных чисел образуется путем сложения натуральных чисел. К примеру, 7-ое треугольное число равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Первые десять треугольных чисел:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Перечислим делители первых семи треугольных чисел:
1: 1
3: 1, 3
6: 1, 2, 3, 6
10: 1, 2, 5, 10
15: 1, 3, 5, 15
21: 1, 3, 7, 21
28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Как мы видим, 28 - первое треугольное число, у которого более пяти делителей.
Каково первое треугольное число, у которого более пятисот делителей?
Для решения используем формулу для суммы n подряд натуральных чисел:
sum = n*(n+1)/2
Python:
def numDivisors(n):
if n % 2 == 0:
n = n/2
divisors = 1
count = 0
while n % 2 == 0:
count += 1
n = n/2
divisors = divisors * (count + 1)
p = 3
while n != 1:
count = 0
while n % p == 0:
count += 1
n = n/p
divisors = divisors * (count + 1)
p += 2
return divisors
def findTriangularIndex(factor_limit):
n = 1
lnum, rnum = numDivisors(n), numDivisors(n + 1)
while lnum * rnum < 500:
n += 1
lnum, rnum = rnum, numDivisors(n + 1)
return n
index = findTriangularIndex(500)
triangle = (index * (index + 1)) // 2
print(triangle)
Go
package main
import "fmt"
import "math"
func main() {
var n, m, c int
for i := 1; ; i++ {
n, m, c = i * (i + 1) / 2, int(math.Sqrt(float64(n))), 0
for f := 1; f < m; f++ {
if n % f == 0 { c++ }
}
c *= 2
if m * m == n { c += 1 }
if c > 500 {
fmt.Println(n)
break
}
}
}
C:
#include <stdio.h>
static unsigned divisor_count(unsigned long n);
int main(void)
{
unsigned long i = 1, n = 1;
while (divisor_count(n) < 500) {
n += ++i;
}
printf("%lu\n", n);
return 0;
}
unsigned divisor_count(unsigned long n)
{
unsigned ret = 1;
unsigned long i;
for (i = 2; i <= n; i++) {
unsigned c = 0;
while (n % i == 0) {
c++;
n /= i;
}
ret *= c+1;
}
return ret;
}
Еще одна математическая задача, которая не имеет отношения к проекту Эйлера.
Дано сколь угодно большое целое число.
Число можно рабить на части произвольным образом и между частями расставить знак плюс.
Для любого сколь угодно длинного числа можно свести его к однозначному (цифре) максимум за 4 иттерации.
Например - дано следующее число:
9845739457938475234237428374681231231545412354726877628981928491827549826435873244444444446826337468273463457373457345798798798534895
Его можно например разбить таким образом, что в сумме уже после первой итерации оно даст 10000790:
10000790 = 9 + 8 + 45 + 73 + 94 + 5 + 7 + 9 + 3 + 8 + 4 + 752 + 34 + 23 + 7 + 4 + 2 + 83 + 74 + 68 + 12 + 3 + 1 + 2 + 3 + 15 + 4 + 54 + 1 + 235 + 472 + 6 + 8 + 7 + 7 + 6 + 28 + 98 + 19 + 28491 + 8 + 2 + 75 + 49 + 8 + 26 + 4358 + 73244 + 4444 + 4 + 44 + 46 + 8 + 26 + 3 + 3 + 7 + 4 + 68 + 2 + 7346 + 3 + 4 + 5 + 73 + 73 + 4 + 5 + 7 + 3 + 4 + 57 + 9879879 + 8 + 5 + 3 + 4 + 89 + 5
#!/usr/bin/env python3
import os
import sys
from random import randrange
t = '9845739457938475234237428374681231231545412354726877628981928491827549826435873244444444446826337468273463457373457345798798798534895'
ll = len(t)
print(t)
cc = 0
min = 0
rr = [ 0 for i in range(1, ll+1)]
while True:
rr = [ 0 for i in range(1, ll+1)]
c = 0
while True:
r = randrange(ll)
rr[r] = 1
c += 1
if c == ll:
res = t[0]
ress = []
i = 1
while True:
if i < ll:
if rr[i] == 0:
res += t[i]
else:
ress.append(int(res))
res = t[i]
i += 1
if i == ll :
ress.append(int(t[len(t)-1]))
break
sss = 0
for ss in ress:
sss += ss
s11 = str(sss)
if s11[0] == '1':
f = 0
for s1 in s11:
if s1 == '0':
f += 1
if f > 4:
if len(s11)-f < 5:
summ = ''
for rrr in ress:
summ += str(rrr)
if summ == t:
#print(summ)
#print(t)
print(s11, '=', ress)
exit(0)
break
LINUX