Пифагор

Биография

6-й век до н.э. принято называть веком Рождения самой античной культуры. Потаенное знание египетских и вавилонских храмов словно выплескивается наружу. Будда, Конфуций, Пифагор примерно в одно время, независимо друг от друга, в разных уголках Земли стали Учителями, провозгласили учения, которые на многие века определили дальнейшее развитие человеческой цивилизации.

Ямвлих - один из наиболее известных биографов Пифагора, который жил спустя 800 лет - дает нам основную биографическую информацию. Ямвлих был неоплатоником, сторонником философского течения, ставшего теоретическим фундаментом борьбы язычников против христиан. Он ставил целью показать, что явление Иисуса Христа не было уникальным и чудесным событием в жизни человечества, что мессии, подобные Христу, неоднократно посещали землю и таковым, в частности, за пол-тысячелетия до Христа и был Пифагор. Ямвлих приводит имена 235 членов пифагорейского союза. Биографию Пифагора, написанную Ямвлихом, можно скачать тут: Жизнь Пифагора.

Пифагор родился на острове Самосе, расположенном вблизи Ионийского побережья. Вокруг личности Пифагора создалось столько легенд, что трудно судить, что в них хоть отчасти соответствует действительности и что является вымыслом. Мы не знаем даже точных дат его рождения и смерти: по некоторым данным Пифагор родился около 580 г. и умер в 500 г.до н. э.

В молодости Пифагор много путешествовал и имел возможность хорошо ознакомиться как с Вавилоном, так и с Египтом и теми сведениями по математике, которые со времен глубокой древности хранились египетскими жрецами почти в неизменном состоянии.
К тому времени египтяне могли вычислить обьем усеченной пирамиды с квадратным основанием:

V = (1/3)*(a^2 + ab + b^2 )*h.

В т.н. Московском математическом папирусе, который старше Пифагора на 1000 лет, есть указания на решение следующей задачи: если взять цилиндр с высотой, равной диаметру цилиндра, то площадь боковой поверхности цилиндра будет равна площади поверхности сферы, вписанной в этот цилиндр, т.е. 4*пи*R^2

В общей сложности Пифагор пробыл в Египте около 22 лет и сумел воспользоваться там откровенностью жрецов благодаря тому, что его рекомендовал египетскому царю Амазису друг царя грек Поликрат. Пифагор был в Греции передатчиком вавилонской учености, ибо он, как иониец, во всяком случае гораздо ближе стоял к источнику этой древней мудрости, чем италийские пифагорейцы, поскольку несколько лет жил в Вавилонии.

Что касается вавилонян, то их математика была еще более совершенной, чем египетская. Они умели решать, квадратные и кубические уравнения, а также системы уравнений с неизвестными. Сохранилась глиняная табличка, содержащая 15 строк чисел, удовлетворяющих свойству a^2 + b^2 = c^2 и называемых сегодня пифагоровыми тройками.

По возвращении из Египта около 530 г. Пифагор создал в Самосе свою школу, которая вызвала недовольство граждан Самоса, и прежде всего недовольство тогдашнего диктатора Самоса. Пифагору пришлось покинуть родину. Он направился в греческие колонии на Аппенинском полуострове и поселился в городе Кротоне, где вновь основал школу (пифагорейский союз).

Пифагорейцы с равным усердием заботились и о физическом, и о духовном развитии. Гармония духовного и физического, взлелеянная пифагорейцами, давала прекрасные всходы. Не случайно среди дошедших до нас имен олимпийских победителей древности так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл, согласно преданию, прыгнувший в длину на 55 дельфийских стоп (16,3 м), и др. Как сообщает Страбон, однажды на Олимпийских играх все семь победителей в беге на одну стадию оказались кротонцами.

Изобретение самого термина философия (φιλο-σοφία) традиция приписывает Пифагору. Он видел себя не обладателем истины, а лишь человеком, стремящимся к ней как к недостижимому идеалу. Поэтому Пифагор утверждал, что он не есть воплощение мудрости — мудрец (софос — σοφός), а лишь любитель мудрости — любомудр (философ — φιλόσοφος).

Пифагор был, видимо, первым, кто открыл человечеству могущество абстрактного знания. Он показал, что именно разум и прежде всего разум, а не органы чувств приносит человеку истинное знание. Вот почему он советовал своим ученикам переходить от изучения «телесного», т. е. физических объектов, которые никогда не бывают в одном и том же состоянии, к изучению «бестелесного», т. е. к изучению абстрактных математических объектов, дарующих человеку вечные непреходящие истины. Так математика становится у Пифагора орудием познания мира. А за математикой следует и философия, ибо философия есть не что иное, как распространение накопленного специального (в данном случае математического) знания на область мировоззрения. Так рождается знаменитый пифагорейский тезис: «Все есть число» — кредо философии Пифагора. Пифагорейская мысль о превосходстве разума над чувствами в процессе познания была осознана древними греками. Она прочно вошла в плоть и кровь греческих мыслителей. В V в. до н. э. Демокрит решился на беспрецедентный шаг: он выжег себе глаза, дабы чувственное зрение не отвлекало его от внутреннего умозрения, в котором великий философ вслед за Пифагором видел единственный путь к истине.

Его последователи видели в нем воплощение высшей божественной мудрости. Он проповедовал бессмертие души, ввел для своих последователей строгие правила жизни и основал братство верующих, пифагорейский орден, который позднее из Кротона распространился на другие греческие города Италии и, должно быть, играл важную роль в политической жизни этих городов. Посвященные в этот орден после испытательного периода и строгого отбора могли слушать из-за занавеса голос Учителя, но видеть его самого они могли только через несколько лет, когда их души были очищены музыкой и строгой жизнью согласно обетам. Полагали, что эти очищения, а также посвящение в тайны гармонии и чисел, приближают душу к божеству и таким образом она сможет освободиться из круга повторных воплощений .

Что отличало пифагорейцев от всех других,— это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир—множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто изучит эту до конца божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Коренное преобразование математики по традиции единодушно приписывают Пифагору. Вот что пишет об этом Прокл: «Пифагор преобразовал эту науку в форму свободного образования. Он изучал эту науку, исходя из первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конкретных представлений. Он открыл теорию иррациональных (или пропорций) и построение пяти космических тел»(т. е. правильных многогранников). Пифагору принадлежит первое построение геометрии как дедуктивной науки. К сожалению, до нас не дошли не только отрывки из математических сочинений Пифагора, но даже их переложения другими авторами. Пифагор был основателем славной школы математиков, более века, определявшей развитие этой науки в Греции. Мы имеем в виду не только Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и тех, кто воспринял от пифагорейцев основы этой науки: Демокрита, Гиппократа, Гиппия Элидского, Теэтета или Евдокса. Поэтому очень сложно отделить сделанное самим Пифагором от работ его учеников, поэтому мы будем просто говорить о математике пифагорейцев. До нас дошел труд Гиппократа Хиосского, написанный в одно время с Пифагором, в котором все планиметрические свойства прямолинейных фигур предполагаются хорошо известными (например, теорема о стороне треугольника, лежащей против тупого угла, и т. п.), тогда как свойства круга и хорд подробно обосновываются. Поскольку никакой другой математической школы, кроме пифагорейской, до Гиппократа не существовало, то все положения, которые Гиппократ считает общеизвестными, естественно приписать пифагорейцам.

До Пифагора не было ясного понимания того, что доказательство должно следовать из предположений. По сложившейся традиции считается, что Пифагор был первым европейцем, который настаивал на выборе в геометрии некоторых аксиом, или постулатов,и на последующем построении высказываний с помощью дедуктивного рассуждения, опирающегося на эти постулаты. Таким образом, Пифагор ввел в математику доказательство.

Это было его величайшим достижением. До него геометрия была скорее собранием эмпирически установленных правил, без каких-либо ясных указаний на их взаимную связь и без малейшего предположения, что эти правила можно логически вывести из сравнительно небольшого числа постулатов. Метод доказательства настолько пронизывает сейчас всю математику, что кажется подразумевающимся сам собой, и нам трудно представить себе период,когда этого метода еще не было.

Второй выдающийся вклад в математику Пифагора связан с исключительно важной проблемой иррациональных чисел. Это было открытие того факта,что для целых чисел 1, 2, 3, ... недостаточно математических построений даже в таких примитивных формах, которые были известны в то время. Это показалось ему унизительным и ужасным, так как прежде он с убежденностью пророка проповедовал, что всю природу, всю вселенную, все на свете можно свести к дискретному набору целых чисел и истолковать в терминах целых чисел. Одно единственное математическое противоречие мгновенно разрушило дискретную философию, математику и метафизику Пифагора. Но,не в пример другим ученым, он в конце концов признал свое поражение — после длительной отчаянной борьбы против открытия, которое отрицало символ его веры.

Аристотель так писал о школе Пифагора: В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего. А так как среди этих начал числа от природы суть первое, а в числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходного с тем, что существует и возникает, - больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и, можно сказать, в каждом из остальных случаев точно так же); так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа - первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом; и если у них где-то получался тот или иной пробел, то они стремились восполнить его, чтобы все учение было связным. Я имею в виду, например, что так как десятка, как им представлялось, есть нечто совершенное и охватывает всю природу чисел, то и движущихся небесных тел, по их утверждению, десять, а так как видно только девять, то десятым они объявляют "противо-Землю".

Невозможно найти два таких целых числа, чтобы квадрат одного из них был вдвое больше квадрата другого. Это можно доказать с помощью чрезвычайно простых рассуждений, доступных любому, кто изучал хотя бы несколько недель или просто понимает элементарную математику. Пифагор действительно нашел камень преткновения в геометрии: отношение стороны квадрата к его диагонали не может выражаться в виде отношения двух целых чисел. Это утверждение эквивалентно только что приведенному утверждению о квадратах целых чисел. Употребляя другой язык, мы можем сказать,что корень квадратный из числа 2 иррационален, т. е. не является ни целым числом, ни отношением двух целых чисел. Мы легко можем построить диагональ геометрически, но мы не сможем измерить ее с помощью конечного числа шагов. Эта невозможность неизбежно приводит к появлению иррациональных чисел и бесконечных процессов в математике. Квадратный корень из двух можно вычислить с любой степенью точности (до любого десятичного знака) с помощью простых операций или более сильных методов, изучаемых в школе, но в получаемой при этом десятичной дроби цифры не начнут с какого-то момента повторяться (как при десятичной записи числа 1/7) и будут идти одна за другой без конца. Своим открытием Пифагор выявил исток современного математического анализа. О биографии Пифагора подробнее можно также почитать тут:Пифагор.

Теория гармонии

В школе Пифагора арифметика была тесно связана с музыкой. Согласно одной из легенд Пифагор, проходя вблизи одной кузницы, услыхал звуки различной высоты от ударов различных молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, получаемых от струн разной длины, Пифагор открыл, что если уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т. е.высота тона обратно пропорциональна длине струны. От трех струн можно получить приятное, гармоническое сочетание звуков, если их длины относятся как 6:4:3. Так, наблюдая получение в музыке благозвучных,«гармонических» аккордов, пифагорейцы заметили, что гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае,когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4, 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12. Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возхможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника(квадрата), или же три правильных шестиугольника.

Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равноотношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих ногоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6. На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует «мировая гармония».

Теория чисел

В основу философии пифагорейского союза было положено учение о числе. Пифагорейцы считали, что число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка, господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе. Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определяемого, всего познаваемого. Вещи суть подражания числам. Этот мистицизм был позаимствован Пифагором вместе с началами математических знаний на Ближнем Востоке.

Число для пифагорейцев — это собрание единиц, т. е. только целое положительное число. Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических тел, получая ряды «треугольных», «квадратных»,«пятиугольных» и других «фигурных» чисел. Каждый такой ряд представляет последовательные суммы арифметической прогрессии с разностями 1, 2, 3 и т. д. На рис. 11

изображены «треугольные» числа 1, 1+2 = 3, 1+2+3=6,1+2+3+4=10 (общее выражение этих чисел 1+2 + 3+... + п=(n*(n+1)/2) . На рис. 12 показаны «квадратные» числа 1, 1+3 = 4, 1+3+5=9(общее выражение этих чисел 1+3+5+... + (2*n — 1) = n^2; наше выражение «квадрат» для числа n^2 является пережитком пифагорейской терминологии). На рис. 13 изображены «пятиугольные» числа 1, 1+4=5, 1+4+7=12(общее выражение этих чисел 1 + 4 + 7 + . . . + (Зп — 2) = ((n*(3*n-1)/2)) .

О теории рациональных чисел Пифагора известно следующее: они начали оперировать с дробями вида m/n, причем умели производить с ними все действия арифметики с тем ограничением, что вычитать можно было лишь из большего меньшее. Сложение и вычитание производились путем приведения к общему знаменателю, дроби умели сокращать, умножать и делить.

Основой всех практических правил арифметики с теоретической точки зрения является понятие о пропорциональности величин и учение о пропорциях. В ранние эпохи развития математики,в частности у греков, пропорции играли тем большую роль, что они являлись средством для решения тех задач, которые мы в настоящее время решаем при помощи уравнений первой степени. Кроме того, у греков дробное число рассматривалось, как отношение двух чисел, а действия над дробями — как действия над отношениями, и приводили к рассмотрению пропорций, что ещё более увеличило значение учения о пропорциях. Пифагорейцы знали, что отношение пропорциональности транзитивно, т. е. из пропорциональности пар (А, В) и (С, D) и пропорциональности пар (С, D) и (Е, F) вытекает пропорциональностьпар (А, В) и (Е, F), и, следовательно, отношение пропорциональности является отношением типа равенства.

Пифагорейцы ввели в употребление в Греции более удобную систему записи чисел, заимствованную у финикиян и заключающуюся в том, что числа изображались буквами греческого алфавита с прибавлением некоторых букв финикийского. Первые девять букв алфавита изображали числа от 1 до 9,следующие девять — десятки (10, 20, 30, ..., 90) и последние девять — сотни (100, 200, 300, ..., 900). Для того чтобы отличить числа от букв, над числами ставилась черта. Таким образом,для записи чисел были установлены следующие знаки:

Для изображения чисел, больших тысячи, употреблялись дополнительно следующие символы: значок вроде запятой,поставленный перед числом, обозначал тысячи, а для обозначения десятков тысяч перед числом ставилась точка.

Для изображения дробей ставились подряд число,выражающее числитель, и число, выражающее знаменатель, но после числителя ставился штрих, а знаменатель записывался дважды повторенным числом, сопровождаемым знаками удвоенного штриха. Например, 1/2 записывалась так:

a'b"b"

В школе Пифагора мы впервые сталкиваемся с классификацией чисел, но эта классификация носит весьма своеобразный характер и имеет в основе или геометрические соображения, или соображения отвлеченного, философско-мистического характера. Геометрическим образом единицы служил квадрат. Когда каждая сторона квадрата разделялась на равное число частей и через точки деления проводились прямые, разделяющие основной квадрат на более мелкие квадраты, то совокупность этих квадратов представляла «квадратное» число:

4, 9„ 16

Аналогично представлялись «плоскостные» или «прямоугольные» числа, то есть числа, разлагающиеся на два неравных множителя: они изображались в виде прямоугольника, разбитого на соответствующее число квадратов. Так,например, число 6 представлялось прямоугольником сторонамии 3 единицы длины. В этом случае множители, образующие число 6, то есть 2 и 3, назывались сторонами числа 6. Аналогично получались числа «кубические» и «телесные». Кубическими назывались числа, разлагающиеся на три равных множителя, а телесными — числа, разлагающиеся на три неравных множителя. Числа 1, 3, 6, 10, 15, ... назывались «треугольными». Треугольные числа получались путем сложения первых чисел натурального ряда:

1, 1+2 = 3, 1+2 + 3 = 6, 1+2 + 3+4 == 10 и т. д.

Название «треугольные» числа было присвоено им потому, что они получались путем последовательного суммирования числа кругов, расположенных рядами в форме треугольника.

Кроме того, все числа натурального ряда подразделялись на нечетные — «мужские» и четные — «женские», или иначе«гномоны». Число носило название

«совершенного»,

6, 28, 496, 8128

2*(2:2—1), 2^2(2^3—1),2^4(2^5 —1) и 2^6(2^7 —1)

Следующий код на питоне находит первые пять совершенных чисел:

 for i in range(2,14):
     x=2**(i-1)*(2**i-1)
     s=1
     for j in range(2,x/2+2):
         if(x%j==0):
             s+=j
     if (x==s):
         print '=====' +str(x)
 

Следующий код на питоне находит первые семь совершенных чисел(используется последовательность Мерсена):

 n=[2, 3, 5, 7, 13, 17, 19]
 for i in n:
   s=1
   s = reduce(lambda x, y: x+y , range(1, 2**i))
   print s

Общее правило для нахождения совершенного числа: если сумма 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^п=p является простым числом, то произведение 2^n*p есть совершенное число

Например, 1+2+4=7 — простое число, следовательно, 4*7 = 28 будет совершенным числом.

Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого из них равняется другому, назывались «содружественными». Как утверждают, Пифагор на вопрос, что такое друг, ответил:«Тот, кто есть другой я, вот как числа

220 и 284

1, 2, 4, 5, 1011, 20, 22, 44, 55 и 110

1, 2, 4, 71 и 142

Понятие простого числа возникло также у пифагорейцев - об этом упоминает Аристотель Историк математик О.Беккер считает, что теорема о бесконечности ряда простых чисел возникла во времена Пифагора.

Пифагору приписывают и правило для нахождения целочисленных решений неопределенного уравнения

x^2 + y^2 = z^2

где m - нечетное число.

Особое значение у пифагорейцев имели числа

7 и 36

(13 + 23 + 33)

(2 + 4 + 6 + 8)+ (1+3 + 5+7) =36

Благодаря такому методу изображения чисел геометрические образы сливались с представляемыми ими числами, а потому многие выводы из области теории чисел возникли как результат геометрических соображений и, наоборот,арифметические соотношения приводили к некоторым геометрическим обобщениям. Так, вывод формул сокращенного умножения проводился следующим построением:

Формула «Квадрат суммы двух количеств». Построим квадрат, стороны которого равны сумме отрезков а и Ъ. Через точки раздела отрезков проведем прямые, параллельные сторонам квадрата. Из чертежа видно,что видно,что

Пифагорейцы сопоставили три последовательности чисел:

1) натуральный ряд

2) квадраты чисел натурального ряда

3) разности последовательных квадратов

 1) 1 2 3 4  5  6  7  8  9  10  11   12  13   14
 2) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121  144 169  196
 3) 3 5 7 9  11 13 15 17 19 21  23   25  27   29
 

9+16 = 25; 25+144= 169 или 3^2 + 4^2=5^2;

дают пифагорову тройку, если a - нечетное.

Примеры:

Решение вопроса формулами Пифагора не даёт всех возможных пифагоровых троек при выборе одного числа тройки. Беря, например, за одно число 65, мы получим пифагорову тройку 65, 2112, 2113. Однако существует пифагорова тройка, начинающаяся с то-того же числа 65: 65, 72, 97, которую даёт вавилонская клинописная таблетка, относимая к эпохе XIX—XVI вв. до н. э.

Пифагорейская школа пользовалась тремя пропорциями, называвшимися в греческой математике аналогиями: 1) арифметической а—b = c—d, 2) геометрической a:b = c:d и 3) гармонической: а:с=(а—Ь) : (Ь—с).

Из них пифагорейцы получали непрерывные пропорции а—b = b—с и а:b = b:с и арифметическую среднюю b =(a+c)/2, геометрическую среднюю b=\/ac b гармоническую среднюю Ь= 2*a*c/(a+c)

Пифагор заметил, что сумма последовательных нечетных чисел дает полный квадрат:
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7= 4²

и каждый такой гномон представляет собой разность двух квадратов:
2² - 1² = 3
3² - 2² = 5
4² - 3² = 7
5² - 4² = 9
6² - 5² = 11
Или в общем виде:
(n + 1)² - n² = 2n + 1

Пифагор также сформулировал правило, по которому он мог находить целые числа для прямоугольных треугольников:
(2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²

Пифагор, как утверждает Прокл, занимался прогрессиями, как геометрическими, так и арифметическими. Ему принадлежит идея пифагорейского круга:
если вдоль окружности написать ряд натуральных чисел, т.е. 1, 2,3,..., n , а затем в обратную сторону от n до 1, то сумма всех этих чисел будет равна n².

Геометрия Пифагора

Особенное внимание уделялось в школе Пифагора вопросам геометрического характера.

Пятиконечная звезда, как символ здоровья, служила опознавательным знаком для пифагорейцев. Когда на чужбине один из них лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который ухаживал за ним вплоть до его кончины, то он велел ему изобразить на своем жилище звездчатый многоугольник; если когда-нибудь мимо пройдет пифагореец, то он не преминет осведомиться об этом. Действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидал этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.

Для построения звезды:

пифагорейцы могли воспользоваться тем его свойством, что каждая из этих пяти линий делит каждую другую в крайнем и среднем отношении, т. е. так, что меньший отрезок АК=а—х относитсяк большему КВ=х, как этот больший отрезок х к целому АВ = а. Справедливость этого можно сразу усмотреть из подобных треугольников AIB и KFB. Пропорция BF : ВК=В1 : ВА, или

{а — х): х = х : а,

х^2 = а(а — х)

Равнобедренный треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. За свое замечательное свойство этот треугольник был прозван средневековыми математиками возвышенным.

Сумма углов у пентаграммы - 180 градусов, так же, как и у треугольника.

Пентаграмма обладает массой интереснейших математических свойств:

1. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

 AB   AD
 -- = -- = 
 AD   DB
 

3. Последовательность сторон правильных пятиугольников и вписанных в них пентаграмм образует ряд золотого сечения: который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ < 1 и обладает аддитивным свойством.

Решение задачи о построении правильных многоугольников помогло построению правильных многогранников, причем пифагорейцами были построены все возможные их виды:

тетраэдр

октаэдр

икосаэдр

гексаэдр

додекаэдр

Самым интригующим свойством правильных тел является то, что их существует всего пять. Не случайно доказательством этого факта завершалась последняя XIII книга «Начал» Евклида. В самом деле, сумма плоских углов S при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°, а число граней при вершине m ≥ 3 . Значит, гранями правильных тел могут быть только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и пятиугольник, ибо уже для шестиугольника S = 120° ⋅ 3 = 360° . Из правильных треугольников можно составить три правильных тела: m = 3 — тетраэдр, m = 4 — октаэдр и m = 5 — икосаэдр (при m = 6 S = 60° ⋅ 6 = 360° ). Из квадратов и правильных пятиугольников — только по одному (куб и додекаэдр) при m = 3 (при m = 4 S = 90° ⋅ 4 = 360° — для квадратов и S = 108° ⋅ 4 = 432° — для пятиугольников). Таким образом, правильных многогранников может быть только пять.

На пяти правильных телах история многогранников не остановилась. Вслед за правильными телами были открыты полуправильные тела Архимеда, грани которых составлены из правильных равных многоугольников нескольких видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке и многогранные углы при вершинах равны. Заметим, что тела Архимеда могут быть получены из соответствующих правильных тел снятием равных фасок. Тел Архимеда всего 13. Любопытно, что во второй половине XX в. было обнаружено еще одно тело Архимеда — псевдоромбокубооктаэдр, которое не может быть получено путем однотипных усечений тела Платона и поэтому в течение 2000 лет оставалось незамеченным.

Пифагорейцы обладали достаточно обширными сведениями и из других разделов геометрии: им были известны теоремы о равенстве треугольников, учение параллельных, о сумме углов треугольника, о подобии; они пользовались методами построения равновеликих фигур и основными положениями стереометрии. Одним из важнейших открытий, приписываемых пифагорейцам, считается доказательство теоремы, дающей зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, известной в истории под названием «теоремы Пифагора».

Теорема Пифагора

Прокл в своем комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору." О том же говорит и Плутарх.

На рисунках ниже наглядно видно, что сумма квадратов ABED и EFJH,построенных на катетах треугольника DEH, равна квадрату DBFH, построенному на его гипотенузе, так как все эти квадраты распадаются на равные треугольники (рис. 4). От этого частного случая переход к общему мог произойти путем рассмотрения квадрата ABCD, разделенного на два неравных квадрата AHJE и JFCG и два равных прямоугольника EJGD и HBFJ (рис. 5). Квадрат EKLG равен квадрату ABCD,уменьшенному на треугольники АКЕ, KBL, LCG и GED, которые в своей сумме равны обоим прямоугольникам. В то же время и сумма квадратов AHJE и JFCG равна квадрату ABCD, уменьшенному на эти два прямоугольника, откуда следует, что квадрат KLGE равен сумме квадратов AHJEи JFCG. Это доказательство, так же как и доказательство Евклида, не пользуется понятием подобия. Но, прибегая к последнему понятию, небезызвестному египтянам и вавилонянам, которым, как мы видели, успешно пользовался Фалес, можно было доказать эту теорему гораздо проще.

Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней Индии; об этом свидетельствуют предложения,содержащиеся в «Сутрах».

Одно из старейших наглядных доказательств теоремы Пифагора, содержащееся и в одном из произведений Бхаскары,состоит в следующем:

Пусть ABDE — квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВС (АB=с, BC=a, AC = b); далее, пусть DK перпендикулярна к ВС, она равна а; EL перпендикулярна DK, AM перпендикулярна EL, тогда равны треугольники ABC, BDK, DEL и АМЕ.Далее, KL = LM = СМ = СК = а — b.

Итак,

Евклид не остался в стороне и в своих Началах приводит свое доказательство:

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника ABC строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL — квадрату ACKG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB , BC = BD и угол ∠FBC = d + ∠ABC = ∠ABD . Но площадь ABD = половине площади BJLD , так как у треугольника ABD и 2 прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично площадь FBC = половине площади ABFH (BF — общее основание, AB — общая высота). Отсюда, учитывая, что площадь ABD = площади FBC , имеем площадь BJLD = площади ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, что площадь JCEL = площади ACKG . Итак, площадь ABFH + площадь ACKG = площадь BJLD + площадь JCEL = площадь BCED , что и требовалось доказать.

Теореме Пифагора посвящена отдельная книга:Теорема Пифагора.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами.
Этой теме посвящена книга Пифагоровы треугольники.

Второй теоремой, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника.

Задача: Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины. Сколько учеников посещало школу Пифагора?

Задача: Доказать, что сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с 1, есть точный квадрат Сейчас эта задача может быть решена очень просто с помощью формулы для суммы арифметической прогресии

Задача: Доказать, что всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов

Проблемы

В V в. до н. э. пифагорейцами были поставлены три задачи, сразу же получившие большую известность. Это удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Все они имеют очень длинную историю: первые две были решены только в 30-х годах прошлого века, а третья — в конце его. Все три оказались неразрешимыми средствами классической геометрической алгебры, и их исследование потребовало создания новых методов. Первая из них формулируется так: построить куб, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба.

Если обозначить ребро заданного куба через а, а искомого — через х,то задача эквивалентна уравнению

х^3 = 2*а^3

Естественно, что удвоение куба пытались осуществить с помощью построений циркулем и линейкой. В переводе на язык алгебры это означало, что корень кубический из двух пытались представить в виде конечной комбинации квадратных радикалов. Это не удавалось. Тогда началось тщательное исследование задачи. Гиппократ Хиосский обобщил ее и свел к вопросу об отыскании двух средних пропорциональных между заданными величинами. Пусть задан прямоугольный параллелепипед а^2*b (всегда можно предполагать,что основание уже преобразовано в квадрат), требуется преобразовать его в куб х^3 = а^2*Ь.

Решение задачи, как показал Гиппократ, эквивалентно нахождению таких двух величин х и у, что:

a/х=х/у=у/b

При b = 2*а, х и равняется ребру удвоенного куба.

Вскоре Архит Тарентский показал, что величину х можно найти, рассмотрев пересечение трех поверхностей — конуса, цилиндра иповерхности, полученной вращением окружности вокруг касательной к ней (так как поверхность, полученную вращением окружности вокруг прямой, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, называют тором; тор имеет форму баранки, отверстие которой называют внутренним кругом тора, данную поверхность можно назвать тором, внутренний круг которого имеет нулевой радиус). В существовании поверхностей, полученных вращением окружностей и скольжением прямых по окружности, древние не сомневались. Пересечение таких поверхностей и давало решение. Таким образом, решение Архита доказывало существование двух средних между любыми двумя величинами, однако оно не давало удобного способа их нахождения. Дальнейшие попытки ученых были направлены к нахождению других способов построения двух средних между двумя заданными величинами. Для этого обратились к тем геометрическим местам —кривым, которые получаются из пропорции Гиппократа:

а*у = х^2 и х*у = а*b или у^2 = b*х

Построение координат х, у точки пересечения таких двух «мест» и давало решение задачи (в случае выбора «мест» а*у = х^2 имеется в виду точка, отличная от начала координат). Однако исследование «мест» было делом отнюдь не легким. Прежде всего надо было установить, являются ли эти «места» непрерывными кривыми (тогда можно говорить о точке ихпересечения). Только Менехму во второй половине IV в. до н. э. удалось представить эти «места» как плоские сечения. Менехм рассмотрел три рода конусов вращения: прямоугольные, тупоугольные и остроугольные. Проводя сечения плоскостью, перпендикулярной к образующей, он получил три рода"кривых, которые мы теперь называем соответственно параболой, гиперболой и эллипсом. Эти названия кривым дал Аполлоний; до этого их называли сечениями прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конуса. После такого стереометрического определения Менехм переходил к выводу планиметрических свойств полученных сечений и в дальнейшем оперировал только с этими планиметрическими свойствами, равносильными нашим уравнениям (например, а*у=х^2 для параболы). Для чего же нужно было это стереометрическое определение? По-видимому, как и в решении Архита, оно служило для доказательства существования и непрерывности рассматриваемых геометрических мест.

Именно исследование задачи удвоения куба, которая сама по себе является весьма частной, привело, вероятно, к введению в математику новых чрезвычайно важных кривых — конических сечений. Возможно, что внимание к этим линиям привлекло и то обстоятельство, что конец тени шеста солнечных часов описывает на Земле в течение дня дугу конического сечения. Кривые были многосторонне изучены уже в древности и являлись основными геометрическими объектами наряду с прямыми и окружностями. Архимед изучал тела, полученные вращением конических сечений, и определял их объемы. Он же систематически применял конические сечения для решения задач, эквивалентных кубическим уравнениям.

Ко времени деятельности Евклида и его школы (конец IV в. до н. э.) сложилось убеждение, что задача удвоения куба не разрешима циркулем и линейкой.

Задача трисекции угла, в которой требуется разделить данный угол на три равные части замечательна тем, что для ее решения были применены «вставки» и введена первая трансцендентная кривая — квадратриса.

Метод вставки заключался в том, чтобы поместить отрезок определенной длины между двумя данными линиями так, чтобы концы его находились на этих линиях, а сам он или его продолжение проходили через данную точку. Обычно рассматривались вставки между прямыми и окружностями. Однако если задача решена посредством вставки, то природа ее остается неясна. Действительно, если двигать отрезок заданной длины так, чтобы конец его находился на заданной кривой, а продолжение проходило через данную точку А, то второй конец отрезка опишет некоторую кривую L. Осуществление вставки эквивалентно нахождению пересечения L со второй из заданных линий. Но какова природа кривой L? Она может быть и очень сложной. В случае, если первая кривая есть прямая, то в качестве L получим конхоиду. Одни вставки могут быть произведены с помощью конических сечений, другие относятся к линейным задачам.

В V в. до н. э. для трисекции угла Гиппий из Злиды ввел новую кривую, позднее названную Лейбницем квадратрисой, которая определялась механически.

Пусть отрезки ОА и АВ начинают двигаться одновременно, причем ОА равномерно вращается по часовой стрелке вокруг точки О, а АВ равномерно опускается вниз, оставаясь параллельным самому себе, так что оба они достигают положения ОС одновременно. Геометрическое место точек М пересечения обоих отрезков и образует квадратрису. Из определения следует, что ординаты кривой пропорциональны соответствующим углам:

y/y1=f/f1

Кривая, как нетрудно видеть, может быть применена для деления угла на любое число равных частей.

Название «квадратриса» объясняется тем, что с помощью этой же кривой можно решить и задачу о квадратуре т. е. о построении круга,квадрата, равновеликого данному кругу. Если удвоение куба и трисекция угла сводятся к кубическим уравнениям, то эта задача, равносильная построению отрезка, равного пи, как было строго доказано только Ф. Линдеманом и Ш. Эрмитом в XIX в., не может быть сведена к алгебраическомуу равнению (пи не может быть корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, т. е., по современной терминологии,является трансцендентным числом). Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пытался подойти к квадратуре круга, разыскивая квадрируемые луночки, т. е.фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, для которых можно построить равновеликие квадраты. Гиппократ нашел три вида таких луночек, в частности луночку, ограниченную четвертью окружности ABC и полуокружностью, построенной на хорде АС этой четверти окружности как на диаметре

если АВ = R, то АС = R умножить на корень квадратный из двух, и площадь четверти большого круга и половины малого круга равна произведению числа пи на квадрат радиуса и поделить 4, поэтому площадь луночки равна площади треугольника ABC. Такие квадрируемые луночки получили название гиппократовых луночек. Однако их открытие не приблизило Гиппократа к квадратуре круга; как выяснили в 30—40-х годах нашего века Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, имеется пять видов квадрируемых луночек и ни одна из них не квадрируема вместе с кругом. Решение квадратуры круга с помощью квадратрисы, основанное на том, что в случае, когда на предыдущем рисунке стороны квадрата ОАВС равны R, отрезок ON равен 2*R/пи, было предложено в IV в. до н. э. Диностратом.

Много интересных задач, которые являются производными от идей Пифагора, можно найти в книге: По следам Пифагора.